Question

4．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，BO線與⊙O相交于點(diǎn)D，⊙O的切線AE交CD的延長線于點(diǎn)E，連接AD．
（1）求證：AE⊥DE；
（2）若AD=2$\sqrt{5}$，⊙O的半徑為5，求線段EC的長度．

Answer 1

分析 （1）連接OA，由切線的性質(zhì)得出AE⊥OA，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠3=∠1=∠2，由三角形的外角性質(zhì)和圓周角定理得出∠AOD=∠BDC，證出CE∥OA，即可得出結(jié)論；
（2）由圓周角定理得出∠BAD=90°，由勾股定理求出AC=AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，由圓周角定理得出∠ACD=∠ABD，因此sin∠ACD=sin∠ABD，由三角函數(shù)得出$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{BD}$，求出AE=4，再由勾股定理求出EC即可．

解答 （1）證明：連接OA，如圖所示：
∵AE是⊙O的切線，
∴AE⊥OA，
∵△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵OA=OB，
∴∠3=∠1=∠2，
又∵，∠AOD=∠1+∠3，∠BDC=∠BAC，
∴∠AOD=∠BDC，
∴CE∥OA，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵BD是直徑，
∴∠BAD=90°，
∴AC=AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠ACD=∠ABD，
∴sin∠ACD=sin∠ABD，
即$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{BD}$，即$\frac{AE}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{10}$，
解得：AE=4，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴EC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、三角函數(shù)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握圓周角定理和勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．