Question

小明在學(xué)習(xí)軸對稱的時候，老師留了這樣一道思考題：如圖a，若點A，B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點P，使得AP+BP的值最小，小明通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確方法，他的做法是這樣的：
 ①作點B關(guān)于直線m的對稱點B′；②連接AB′，與直線m的交點P，則點P為所求線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．
請你參考小明的做法解決下列問題：

（1）如圖b，在等邊△ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上作出點P．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），使得BP+PE的值最小，并求出最小值；
（2）如圖c，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G為邊AD的中點，若E，F(xiàn)為邊AB上的兩個動點，點E在點F左側(cè)，且EF=1，當(dāng)四邊形CGEF的周長最小時，請你在圖c中確定點E，F(xiàn)的位置（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并求出四邊形CGEF周長的最小值．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）利用軸對稱作出E點對稱點E′，連接E′B即可得出P點坐標(biāo)，要求BP+PE的值最小值，利用已知由勾股定理求出即可；
（2）利用已知可以得出GC，EF長度不變，求出GE+CF最小時即可得出四邊形CGEF周長的最小值，利用軸對稱得出E，F(xiàn)位置，即可求出．

解答：解：（1）如圖b，作E點關(guān)于AD的對稱點E′，連接BE′，交AD于點P，連接EP，
∵在等邊△ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，
∴E′為AC的中點，
∴BE′⊥AC，
BE′=EP+BP=

BC2-E′C2

=

22-12

=

3

；

（2）如圖c，作G關(guān)于AB的對稱點M，
在CD上截取CH=1，然后連接HM交AB于E，
在EB上截取EF=1，
那么E、F兩點即可滿足使四邊形CGEF的周長最小．
∵AB=4，BC=6，G為邊AD的中點，
∴DG=AG=AM=3，
∵AE∥DH，
∴

AE

DH

=

AM

DM

，
∴

AE

CD-HC

=

1

3

，

AE

3

=

1

3

，
故AE=1，
∴GE=

12+32

=

10

，
BF=2，CF=

BF2+BC2

=

22+62

=2

10

，
CG=

DC2+DG2

=5，
∴C_{四邊形GEFC}=GE+EF+FC+CG=6+3

10

．

點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及勾股定理等知識，利用GE+CF最小時即可得出四邊形CGEF周長的最小值得出E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．