Question

如圖所示，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB=6，CD=3，AD=4．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿B-C-D運(yùn)動(dòng)；當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止．設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）線(xiàn)段BC的長(zhǎng)為

 

；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，MN∥AD？
（3）設(shè)△DMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（4）請(qǐng)直接寫(xiě)出MN⊥BD時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）利用AB∥DC，AB=6，CD=3，AD=4，得出BE=3，再利用勾股定理求出即可；
（2）首先證明△BMN∽△BEC，再利用比例式求出即可；
（3）分別從當(dāng)點(diǎn)N在BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，以及當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí)進(jìn)行分析得出即可；
（4）MN與DB相交于P點(diǎn)，MN⊥BD，易證△MHN∽△DAB即可求出．

解答：解：（1）作CE⊥AB，
∵AB∥DC，AB=6，CD=3，AD=4．
∴BE=3，
∴CD=

CE2+BE2

=5，
故答案為：5；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，
∵M(jìn)N∥AD，
∴△BMN∽△BEC，
∴

BN

BC

=

BM

BE

，
即

t

5

=

6-t

3

，
∴t=

15

4

；

（3）①如圖4，當(dāng)點(diǎn)N在BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB于點(diǎn)H，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，
∴NH=

4

5

t，
∴NF=4-

4

5

t，
S=S_梯形ABCD-S_△ADM-S_△MNB-S_△CDN，
=

2

5

t²-

16

5

t+12（0≤t＜5），
∴S=

2

5

（t-4）²+

28

5

（0≤t＜5），
∴當(dāng)t=4時(shí)，S_最小=

28

5

，
②當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí)，
S=-2t+16（5≤t≤6），
∴當(dāng)t=6時(shí)，S_最小=4，
綜上所述，當(dāng)t=6時(shí)，S_最小=4，

（4）設(shè)MN與DB相交于P點(diǎn)，
∵M(jìn)N⊥BD，易證△MHN∽△DAB，得出

MH

AD

=

HN

AB

，
解得：t=

45

16

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角梯形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，熟練地應(yīng)用相似三角形的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．