Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸相交于、兩點(diǎn)，動點(diǎn)C在線段OA上（不與O、A重合），將線段CB繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到CD，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在直線AB上時，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E.

（1）求證，；

（2）如圖2，將沿x軸正方向平移得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及平移的距離；

（3）若點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在直線AB上，是否存在以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），見解析；（2）D（3，1），平移的距離是個單位，見解析；（3）存在滿足條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為或或，見解析.

【解析】

（1）根據(jù)AAS或ASA即可證明；
（2）首先求直線AB的解析式，再求出出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出直線B′C′的解析式，求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)即可解決問題；

（3）如圖3中，作CP∥AB交y軸于P，作PQ∥CD交AB于Q，則四邊形PCDQ是平行四邊形，求出直線PC的解析式，可得點(diǎn)P坐標(biāo)，點(diǎn)C向左平移1個單位，向上平移個單位得到P，推出點(diǎn)D向左平移1個單位，向上平移個單位得到Q，再根據(jù)對稱性可得Q′、Q″的坐標(biāo).

（1）∵，

∴，，

∴，

∵，

∴

（2）∵直線AB與x軸，y軸交于、兩點(diǎn)

∴直線AB的解析式為

∵，

∴，設(shè)，則

把代入得到，

∴

∵，

∴直線BC的解析式為，

設(shè)直線的解析式為，把代入得到

∴直線的解析式為，

∴，

∴

∴平移的距離是個單位.

（3）如圖3中，作CP∥AB交y軸于P，作PQ∥CD交AB于Q，則四邊形PCDQ是平行四邊形，

易知直線PC的解析式為y=-x+，
∴P（0，），
∵點(diǎn)C向左平移1個單位，向上平移個單位得到P，
∴點(diǎn)D向左平移1個單位，向上平移個單位得到Q，
∴Q（2，），
當(dāng)CD為對角線時，四邊形PCQ″D是平行四邊形，可得Q″，
當(dāng)四邊形CDP′Q′為平行四邊形時，可得Q′，
綜上所述， 存在滿足條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為或或