Question

15．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且AE=CD，BE與AD相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q．
（1）求證：BE=AD；
（2）求證：PQ=$\frac{1}{2}$BP．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS定理，即可判斷兩個(gè)三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及三角形外角的性質(zhì)，可以得到∠PBQ=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到．

解答 （1）證明：∵△ABC為等邊三角形．
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}\\{∠BAC=∠ACB}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACD，
∴BE=AD；

（2）答：PQ=$\frac{1}{2}$BP．
證明：∵△BAE≌△ACD，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ為△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定以及直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．