Question

10．某校運(yùn)動會需購買A，B兩種獎(jiǎng)品，若購買A種獎(jiǎng)品3件和B種獎(jiǎng)品2件，共需80元，若購買A種獎(jiǎng)品5件和B種獎(jiǎng)品4件，共需150元．
（1）求A、B兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)各是多少元？
（2）學(xué)校計(jì)劃購買A、B兩種獎(jiǎng)品共100件，購買費(fèi)用不超過1375元，且A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不大于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的4倍，設(shè)購買A種獎(jiǎng)品m件，購買費(fèi)用為W元，寫出W（元）與m（件）之間的函數(shù)關(guān)系，求出自變量m的取值范圍，并確定最少費(fèi)用W的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A種獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)是y元，根據(jù)“錢數(shù)=A種獎(jiǎng)品單價(jià)×數(shù)量+B種獎(jiǎng)品單價(jià)×數(shù)量”可列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買A種獎(jiǎng)品m件，則購買B種獎(jiǎng)品（100-m）件，根據(jù)購買費(fèi)用不超過1375元，且A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不大于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的4倍，可列出關(guān)于m的一元一次不等式組，解不等式組即可得出m的取值范圍，再結(jié)合數(shù)量關(guān)系即可得出W與m之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)既可以解決最值問題．

解答 解：（1）設(shè)A種獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)是y元，
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y=80}\\{5x+4y=150}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=25}\end{array}\right.$，
答：A種獎(jiǎng)品的單價(jià)是10元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)是25元．
（2）設(shè)購買A種獎(jiǎng)品m件，則購買B種獎(jiǎng)品（100-m）件，
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{10m+25×（100-m）≤1375}\\{m≤4×（100-m）}\end{array}\right.$，
解得：75≤m≤80．
∴W=10m+25×（100-m）=-15m+2500（75≤m≤80），
∵-15＜0，
∴當(dāng)m=80時(shí)，W取最小值，最小值為1300．
故W（元）與m（件）之間的函數(shù)關(guān)系式為W=-15m+2500（75≤m≤80），最少費(fèi)用為1300元．

點(diǎn)評 本題考查了解二元一次方程組、一元一次不等式組以及一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）列出關(guān)于x、y的二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程（方程組、函數(shù)關(guān)系或不等式組）是關(guān)鍵．