Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點D，E是⊙O一點，且∠AED=45°
（1）試判斷CD與⊙的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為3cm，AE=5cm，求∠ADE的正切值．

Answer 1

分析：（1）CD與⊙O相切．連接OD，首先求出∠AOD=90°，然后利用平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥DC，利用平行線的性質(zhì)即可證明題目的結論；
（2）連接BE，則∠ADE=∠ABE，由AB是⊙O的直徑得到∠AEB=90°，而AB=2×3=6（cm）．在Rt△ABE中，利用三角函數(shù)的定義即可求解．

解答：（1）CD與⊙O相切．
理由是：連接OD．
則∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD，
∴CD與⊙O相切．

（2）連接BE，則∠ADE=∠ABE．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）．
在Rt△ABE中，
tan∠ABE=

AE

BE

=

5

62-52

=

5

11

=

5

11

11

．
∴∠ADE的正切值為

5

11

11

．

點評：本題主要考查了切線的判定和三角函數(shù)的定義．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．