在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OBCD是正方形,且D(0,2),點E是線段OB延長線上一點,M是線段OB上一動點(不包括點O、B),作MN⊥DM,垂足為M,交∠CBE的平分線于點N .
(1)寫出點C的坐標(biāo);
(2)求證:MD = MN;
(3)連接DN交BC于點F,連接FM,下列兩個結(jié)論:①FM的長度不變;②MN平分∠FMB,其中只有一個結(jié)論是正確的,請你指出正確的結(jié)論,并給出證明.
(1)C(2,2)(2)見解析(3)MN平分∠FMB成立.證明見解析
【解析】(1)C(2,2);(2分)
(2)在OD上取OH=OM,連接HM,
∵OD=OB,OH=OM,
∴HD=MB,∠OHM=∠OMH,
∴∠DHM=180-45=135°,
∵NB平分∠CBE,
∴∠NBE=45°,
∴∠NBM=180-45=135°,
∴∠DHM=∠NBM,
∵∠DMN=90°,
∴∠DMO+∠NMB=90°,
∵∠HDM+∠DMO=90°,
∴∠HDM=∠NMB,
又∵DH=MB,
∴△DHM≌△MBN,
∴DM=MN.(3分)
(3)MN平分∠FMB成立.證明如下:
在BO延長線上取OA=CF,可證△DOA≌△DCF,△DMA≌△DMF,
FM=MA=OM+CF(不為定值),∠DFM=∠DAM=∠DFC,
過M作MP⊥DN于P,則∠FMP=∠CDF,
由(2)可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°,
∠NMB=∠MDO,∠MDO+∠CDF=45°,
進(jìn)一步得∠NMB=∠NMF,即MN平分∠FMB.(4分)
(1)根據(jù)四邊形OBCD是正方形所以點C的坐標(biāo)應(yīng)該是C(2,2);
(2)可通過構(gòu)建全等三角形來求解.在OD上取OH=OM,通過證三角形DHM和MBN全等來得出DM=MN.
(3)本題也是通過構(gòu)建全等三角形來求解的.在BO延長線上取OA=CF,通過三角形OAD,F(xiàn)DC和三角形DAM,DMF這兩對全等三角形來得出FM和OM,CF的關(guān)系,從而得出FM是否是定值.然后再看∠FMN是否與∠NME相等.
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