Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙D與坐標(biāo)軸分別相交于A（-，0），B（，0），C（0，3）三點(diǎn)．

（1）求⊙D的半徑；

（2）E為優(yōu)弧AB一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B，C三點(diǎn)重合），EN⊥x軸于點(diǎn)N，M為半徑DE的中點(diǎn)，連接MN，求證：∠DMN=3∠MNE；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠DMN=45°時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）解：由于OA=OB= ，且OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理知圓心D必在y軸上；

連接AD，設(shè)⊙D的半徑為R，則AD=R，OD=3-R；

Rt△ADO中，根據(jù)垂徑定理得：

,解得R=2；

即⊙D的半徑為2；

（2）證明：過D作DH⊥EN于H，連接MH；

易知四邊形DHNO是矩形，則HN=OD=1；

Rt△DHE中，MH是斜邊DE的中線，

∴DM=ME=MH=1 2 DE=1；

∴△MEH、△MHN是等腰三角形，即∠MEH=∠MHE=2∠MNE；

∵∠DMH=∠E+∠MHE，故∠DMH=3∠MNE；

（3）解：∵∠DMN=45°，

∴∠MNE=15°，∠E=30°；

Rt△DHE中，DE=2，∠E=30°；

∴DH=1，EH=  ；

∴EN=EH+HN= +1；

故E（1，  +1），

根據(jù)軸對(duì)稱性可知，點(diǎn)E在第二象限的對(duì)稱點(diǎn)（-1，+1）也可以．

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1，  +1）或（-1， +1）．

【解析】（1）由于A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，由垂徑定理知圓心D必在y軸上，可連接AD，在Rt△OAD中，用半徑表示出OD、AD的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求半徑的長(zhǎng)．

（2）過D作EN的垂線，設(shè)垂足為H，易證得四邊形DHBO是矩形，則BH=OD=1；連接MH，在Rt△EDH中，MH是斜邊DE上的中線，則MH=ME=DM=1，由此可知∠E=∠MHE=2∠B；由于∠DMN是△MEB的外角，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出本題所求的結(jié)論；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，易求得∠E=30°，在Rt△DEH中，根據(jù)⊙D的半徑及∠E的度數(shù)，即可求出DH、EH的長(zhǎng)，也就得出了E點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性即可求出另一種情況的點(diǎn)E的坐標(biāo)．