Question

20．如圖，已知：AD∥BC，點(diǎn)E在DC上，且AE，BE分別平分∠BAD和∠ABC．求證：點(diǎn)E為CD中點(diǎn)．

Answer 1

分析 延長AE交BC于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC+∠BAD=180∠D=∠ECF，由角平分線的定義得到∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE=∠FBE，求得∠AEB=90°，推出△ABE≌△FBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=EF，證得△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：延長AE交BC于F，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180，∠D=∠ECF，
∵AE，BE分別平分∠BAD和∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE=∠FBE，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AF，
∴∠AEB+∠FEB=90°，
在△ABE與△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠FBE}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBE，
∴AE=EF，
在△ADE與△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECF}\\{∠AED=∠FEC}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE，
∴DE=CE，
即點(diǎn)E為CD中點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．