Question

3．人民公園劃出一塊矩形區(qū)域，用以栽植鮮花．
（1）經(jīng)測(cè)量，該矩形區(qū)域的周長(zhǎng)是72m，面積為320m²，請(qǐng)求出該區(qū)域的長(zhǎng)與寬；
（2）公園管理處曾設(shè)想使矩形的周長(zhǎng)和面積分別為（1）中區(qū)域的周長(zhǎng)和面積的一半，你認(rèn)為此設(shè)想合理嗎？如果此設(shè)想合理，請(qǐng)求出其長(zhǎng)和寬；如果不合理，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出在（1）中周長(zhǎng)減半的條件下矩形面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，則另一邊的長(zhǎng)為36-x米，利用矩形的面積計(jì)算方法列出方程求解即可；
（2）設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為y，根據(jù)題意得矩形的另一邊的長(zhǎng)為（18-y）米，利用矩形的面積計(jì)算方法列出方程后用根的判別式進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，則另一邊的長(zhǎng)為36-x米，根據(jù)題意得：
x（36-x）=320，
解得：x=20或x=16，
答：矩形的長(zhǎng)和寬分別為20米和16米；

（2）設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為y，根據(jù)題意得矩形的另一邊的長(zhǎng)為（18-y）米，
根據(jù)題意得：y（18-y）=160，
整理得：y²-18y+160=0，
∵△=b²-4ac=（-18）²-4×160=-316＜0，
∴此設(shè)想不合理．
設(shè)周長(zhǎng)減少一半后的一邊的長(zhǎng)為y，則另一邊的長(zhǎng)為18-y米，
面積S=y（18-y）=-y²+18y=-（y-9）²+81，
所以面積的最大值為81平方米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出矩形的長(zhǎng)和寬，從而根據(jù)矩形的面積的計(jì)算方法列出方程求解．