Question

一個非零自然數(shù)若能表示為兩個非零自然數(shù)的平方差，則稱這個自然數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16=5²-3²，故16是一個“智慧數(shù)”，在自然數(shù)列中，從1開始起，第1990個“智慧數(shù)”是________．

Answer 1

2656
分析：如果一個數(shù)是智慧數(shù)，就能表示為兩個非零自然數(shù)的平方差，設這兩個數(shù)分別m、n，設m＞n，即智慧數(shù)=m²-n²=（m+n）（m-n），因為mn是非0的自然數(shù)，因而m+n和m-n就是兩個自然數(shù)．要判斷一個數(shù)是否是智慧數(shù)，可以把這個數(shù)分解因數(shù)，分解成兩個整數(shù)的積，看這兩個數(shù)能否寫成兩個非0自然數(shù)的和與差．
解答：設這兩個數(shù)分別m、n，
設m＞n，
即智慧數(shù)=m²-n²=（m+n）（m-n），
又∵mn是非0的自然數(shù)，
∴m+n和m-n就是兩個自然數(shù)，
要判斷一個數(shù)是否是智慧數(shù)，可以把這個數(shù)分解因數(shù)，分解成兩個整數(shù)的積，看這兩個數(shù)能否寫成兩個非0自然數(shù)的和與差．
（k+1）²-k²=2k+1，（k+1）²-（k-1）²=4k，每個大于1的奇數(shù)與每個大于4且是4的倍數(shù)的數(shù)都是智慧數(shù)，而被4除余數(shù)為2的偶數(shù)都不是智慧數(shù)，最小智慧數(shù)為3，從5開始，智慧數(shù)是5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20…即2個奇數(shù)，1個4的倍數(shù)，3個一組依次排列下去．
顯然1不是“智慧數(shù)”，而大于1的奇數(shù)2k+1=（k+1）²-k²，都是“智慧數(shù)”． 因為：4k=（k+1）²-（k-1）²，所以大于4且能被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”而4不是“智慧數(shù)”，由于x²-y²=（x+y）×（x-y）（其中x、y∈N），當x，y奇偶性相同時，（x+y）×（x-y）被4整除．當x，y奇偶性相異時，（x+y）*（x-y）為奇數(shù)，所以形如4k+2的數(shù)不是“智慧數(shù)”在自然數(shù)列中前四個自然數(shù)中只有3是“智慧數(shù)”．此后每連續(xù)四個數(shù)中有三個“智慧數(shù)”．
由于1989=3×663，
所以4×664=2656是第1990個“智慧數(shù)”．
故答案為：2656．
點評：本題主要考查了平方差公式，難度適中，主要是題中新定義的理解與把握．