【題目】如圖,BDABC的角平分線,它的垂直平分線分別交ABBDBC于點(diǎn)EFG,連接EDDG.

1請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀,并說明理由;

2若∠ABC30°,C45°,ED4,點(diǎn)HBD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求HGHC的最小值.

【答案】(1)四邊形EBGD是菱形.理由見解析;(2)4

【解析】試題分析:(1)結(jié)論四邊形EBGD是菱形.只要證明BE=ED=DG=GB即可.
(2)作EM⊥BCM,DN⊥BCN,連接ECBD于點(diǎn)H,此時(shí)HG+HC最小,在Rt△EMC中,求出EM、MC即可解決問題.

試題解析:

(1)四邊形EBGD是菱形.理由:

∵EG垂直平分BD,

∴EB=ED,GB=GD,BF=DF.

∴∠EBD=∠EDB.

又∵∠EBD=∠DBC,

∴∠EDF=∠GBF.

在△EFD和△GFB中,

∴△EFD≌△GFB(ASA).

∴ED=BG.

∴BE=ED=DG=GB.

∴四邊形EBGD是菱形.

(2)作EM⊥BC于M,DN⊥BC于N,連接EC交BD于點(diǎn)H,此時(shí)HG+HC最。

在Rt△EBM中,

∵∠EMB=90°,∠EBM=30°,EB=ED=4,

∴EM=BE=2.

∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,

∴EM∥DN,EM=DN=2,MN=DE=4.

在Rt△DNC中,∵∠DNC=90°,∠DCN=45°,

∴∠NDC=∠NCD=45°.

∴DN=NC=2.

∴MC=4+2=6.

在Rt△EMC中,∵∠EMC=90°,由勾股定理,得EC= .

∵HG+HC=EH+HC=EC,

∴HG+HC的最小值為4 .

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