Question

已知：如圖，線段AB∥CD，AC⊥CD，AC、BD相交于點P，E、F分別是線段BP和DP的中點．
（1）求證：AE∥CF；
（2）如果AE和DC的延長線相交于點Q，M、N分別是線段AP和DQ的中點，求證：MN=CE．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出AE=BE=PE，CF=PF，推出∠EAP=∠EPA，∠CPF=∠FCP，求出∠EAP=∠FCP，根據(jù)平行線的判定推出即可；
（2）求出ME∥CN，EN∥CM，得出矩形MCNE，根據(jù)矩形的判定推出即可．

解答：（1）證明：∵AB∥CD，AC⊥CD，
∴∠BAP=∠DCP=90°，
∵E、F分別是線段BP和DP的中點，
∴AE=PE=BE，CF=PF，
∴∠EAP=∠EPA，∠CPF=∠FCP，
∵∠EPA=∠CPF，
∴∠EAP=∠FCP，
∴AE∥CF；


（2）證明：連接EM、EN，
∵M、E分別為AP、BP的中點，
∴EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴ME∥DC，即EM∥CN，
∵AB∥CD，
∴△AEB∽△QED，
∴

AE

EQ

=

BE

DE

，
∵AE=BE，
∴DE=EQ，
∵N為DQ的中點，
∴EN⊥AQ，
∵∠ACD=90°，
∴EN∥MC，
∴四邊形MCNE是矩形，
∴MN=CE．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力，題目比較好，難度適中．