Question

（2010•株洲）如圖，直角△ABC中，∠C=90°，，，點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PD∥AB，PD交AC于點(diǎn)D，連接AP．
（1）求AC、BC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)PC的長(zhǎng)為x，△ADP的面積為y．當(dāng)x為何值時(shí)，y最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABC中，根據(jù)∠B的正弦值及斜邊AB的長(zhǎng)，可求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可由勾股定理求得BC的長(zhǎng)；
（2）由于PD∥AB，易證得△CPD∽△CBA，根據(jù)相似三角形得出的成比例線段，可求出CD的表達(dá)式，也就求出AD的表達(dá)式，進(jìn)而可以AD為底、PC為高得出△ADP的面積，即可求出關(guān)于y、x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)，可求出y的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，，，
得，
∴AC=2，根據(jù)勾股定理得：BC=4；（3分）

（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴；
設(shè)PC=x，則，，
∴
∴當(dāng)x=2時(shí)，y的最大值是1． （8分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．