Question

8．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=-1，求拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于A、B兩點．
（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸x=-1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；
（3）設點P為該拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．（提示：若平面直角坐標系內兩點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則線段PQ的長度PQ=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A和B關于x=-1對稱即可求得B的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）求得BC與對稱軸的交點就是M；
（3）設P的坐標是（-1，p），利用兩點之間的距離公式表示出BC、BP和PC的長，然后分成△BPC的三邊分別是斜邊三種情況討論，利用勾股定理列方程求得p的值，得到P的坐標．

解答 解：（1）A（1，0）關于x=-1的對稱點是（-3，0），則B的坐標是（-3，0）．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是y=x+3；
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
則拋物線的解析式是y=-x²-2x+3；
（2）在y=x+3中令x=-1，則y=-1+3=2，
則M的坐標是（-1，2）；
（3）設P的坐標是（-1，p）．
則BP²=（-1+3）²+p²=4+p²．
PC=（0+1）²+（3-p）²=p²-6p+10．
BC=3²+3²=18．
當BC時斜邊時，BP²+PC²=BC²，則（4+p²）+（p²-6p+10）=18，
解得：p=-1或2，
則P的坐標是（-1，-1）或（-1，2）；
當BP是斜邊時，BP²=PC²+BC²，則4+p²=（p²-6p+10）+18，
解得：p=4，
則P的坐標是（-1，4）；
當PC是斜邊時，PC²=BP²+BC²，則p²-6p+10=4+p²+18，
解得：p=-2，
則P的坐標是（-1，-2）．
總之，P的坐標是（-1，-1）或（-1，2）或（-1，4）或（-1，-2）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及對稱的性質和勾股定理，正確利用p表示出△BPC的邊BP和PC的長是關鍵．