Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于P，⊙O₁，⊙O₂的半徑分別為2，1．O₁A為⊙O₂的切線，AB為⊙O₂的直徑，O₁B分別交⊙O₁，⊙O₂于C，D，則CD+3PD的值為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：分別求出CD和PD的長度，再計算CD+3PD：
（1）由相似關(guān)系求PD的長度．連接O₁O₂，則O₁O₂過P點，三角形O₁PD相似于O₁BO₂，由相似關(guān)系求出PD；
（2）由切割線定理求CD的長度．這個要分兩步做：
①由勾股定理求出O₁A、O₁B的長度．在直角三角形O₁O₂A和O₁AB中，分別用勾股定理求出O₁A、O₁B的長度；
②由切割線定理求O₁D的長度．由切割線定理O₁A²=O₁D•O₁B，所以O(shè)₁D可求出來．而O₁D=O₁C+CD=2+CD，故CD可求．
解答：解：連接O₁O₂，
∵AO₂=1，O₁O₂=3，
∴AO₁==2，
∴BO₁===2，
∴由切割線定理O₁A²=O₁D•O₁B，得O₁D==，
∴CD=O₁D-O₁C=-2，
又∵cos∠O₂O₁B==，
則PD²=4+-cos∠O₂O₁B=4+-×=，
∴PD=，
∴CD+3PD=-2+3×=．
故選D．
點評：本題考查了相切兩圓的性質(zhì)，三角形的相似以及性質(zhì)，是重點知識，要熟練掌握．