Question

27、如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF．
（1）證明：△BDF是等腰直角三角形．
（2）猜想線段AD與CF之間的關(guān)系并證明．

Answer 1

分析：（1）由等腰直角三角形可得∠ABC=45°，由DE⊥AB，可得∠BDF=45°，由BF∥AC可得∠CBF=90°（同旁內(nèi)角互補），進而可得出結(jié)論．
（2）由SAS判定△ACD≌△CBF即可．

解答：證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，
∵DE⊥AB，∠ABC=45°，∴∠BDF=45°，
∵BF∥AC，∴∠FBD+∠ACB=180°，
∴∠FBD=90°，∴∠BFD=45°，即BD=BF，
∴△BDF是等腰直角三角形．

（2）AD=CF且AD⊥CF，
證明：∵AC=BC，BF=BD=CD，∠ACB=∠CBF=90°，
∴△ACD≌△CBF，
∴AD=CF．
∴∠CAD=∠ECF，
又∠CAD+∠CDA=90°，
∴∠ECF+∠CDG=90°，
∴∠CGD=90°，
∴AD⊥CF．

點評：本題主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定及性質(zhì)，能夠熟練掌握．