Question

如圖，△ABC為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為6，將它沿BC邊上的高AD剪成兩個(gè)全等的直角三角形，用這兩個(gè)全等的直角三角形拼平行四邊形．
（1）畫出所有可以拼成的不同的平行四邊形；
（2）求出上面拼成的平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）例如兩個(gè)直角三角形可以拼成一個(gè)矩形，而矩形的對(duì)角線相等且可以通過求解直角三角形得出，兩條短直角邊重合又是一種情況，
（2）不同的拼法，對(duì)角線的長(zhǎng)度也不同，答案并不唯一．對(duì)角線的長(zhǎng)度都可以通過作直角三角形求解得出．

解答：解：（1）共可拼成以下三種不同的情況．


（2）在等邊△ABC中，
∵AD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=3，
∴在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=

27

…（4分）
①如圖①，連接ED，則∠EBD=∠EBA+∠ABD=90°
∴∠EBD=∠ADB
又∵BE=AD，BD=BD
∴△EBD≌△ADB
∴ED=AB=3，
即：兩條對(duì)角線的長(zhǎng)都是3．…（5分）
②如圖②，連接BE，過點(diǎn)E作EF垂直BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
則EF=AD=

27

，DF=AE=3．
在Rt△BEF中：BE=

BF2+EF2

=

63

即：兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為3、

63

．…（7分）
③如圖③，連接AG，過點(diǎn)G作GH垂直AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
則GH=BD=3，DH=BG=AD=

27

所以AH=AD+DH=2

27

在Rt△AHG中：AG=

AH2+GH2

=

117

即：兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為3、

117

．…（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的判定及全等三角形的判定，性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)問題，能夠畫出正確的圖形，并作簡(jiǎn)單的計(jì)算．