Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過A、B、C三點．
（1）試求A、C的坐標，并求過A、B、C兩點的拋物線的解析式及其頂點F的坐標；
（2）試說明△ABC為直角三角形．并指出，在拋物線上是否存在異于點C的點P，使△ABP為直角三角形？若存在，直接寫出P點坐標；
（3）試探究在直線AC上是否存在一點M，使得△MBF的周長最�。咳舸嬖�，求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-x-x軸交于點A，與y軸交于點C
∴點A（-1，0），C（0，-）
∵點A，C都在拋物線上，
，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-，
∵y=x²-x-=（x-1）²-，
∴頂點F（1，-）；
（2）證明：
由（1）可知點A（-1，0），C（0，-），
∴AO=1，OC=-，
∴AC=2，
設y=0，則y=x²-x-=0，解得：x=-1或3，
∴B的坐標是（3，0），
∴OB=3，
∴BC===2，
∵AC²+BC²=16，AB²=16，
∴AC²+BC²AB²=16，
∴△ABC為直角三角形；
在拋物線上存在異于點C的點P，使△ABP為直角三角形，
理由如下：根據(jù)拋物線的對稱性，點C關于拋物線對稱軸的對稱點也符合題意，
∴P點的坐標是（2，-）；
（3）延長BC到點B′，使B′C=BC，連接B′F交直線AC于點M，則點M就是所求的點，
∵過點B′作B′H⊥AB于點H，
∵B點在拋物線y=x²-x-，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC=，∴∠OBC=30°，BC=2，
在Rt△B′BH中，B′H=BB′=2，
BH=B′H=6，∴OH=3，
∴B′（-3，-2），
設直線B′F的解析式為y=kx+b，
，
解得：，
∴y=x-，
聯(lián)立，
解得：，
∴在直線AC上存在點M，使得△MBF的周長最小，此時M（，-）．
分析：（1）拋物線解析式中有兩個待定系數(shù)a，c，根據(jù)直線AC解析式求點A、C坐標，代入拋物線解析式即可；
（2）由拋物線的解析式可求出B點的坐標，根據(jù)勾股定理計算AC，BC，再由勾股定理的逆定理證AC²+BC²=AB²，即可說明△ABC為直角三角形；分析不難發(fā)現(xiàn)，△ABP的直角頂點只可能是P，根據(jù)拋物線的對稱性，點C關于拋物線對稱軸的對稱點也符合題意；
（3）由于B，F(xiàn)是定點，BF的長一定，實際上就是求BM+FM最小，找出點B關于直線AC的對稱點B'，連接B'F，交AC于點M，點M即為所求，由（2）可知，BC⊥AC，延長BC到B'，使BC=B'C，利用中位線的性質可得B'的坐標，從而可求直線B'F的解析式，再與直線AC的解析式聯(lián)立，可求M點坐標．
點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式、勾股定理以及逆定理的運用、二次函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題、二次函數(shù)的圖象和坐標軸的交點問題，同時考查了代數(shù)幾何的綜合運用能力，體現(xiàn)數(shù)學知識的內在聯(lián)系和不可分割的特點．