Question

4．如圖，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（k＜0）的圖象與矩形OABC的邊相交于E、F兩點，連接EF，且BE=2AE，點E坐標為（-2，3）．
（1）求k值；
（2）求tan∠BEF；
（3）若點M、N分別在線段OA、OC上，OM=ON，點P在反比例函數(shù)圖象上，PM⊥OA，連接MN、PM、PN．當∠PNM=90°時，求PM的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)E的坐標BE=2AE求得BE，進一步求得B的坐標，得出F的橫坐標，代入反比例函數(shù)y=-$\frac{6}{x}$，求得縱坐標，從而求得BF，即可求得tan∠BEF；
（3）設(shè)P的縱坐標為m，作PG⊥OC于G，證得四邊形OGPM是矩形以及△MON和△PNG是等腰直角三角形，從而求得P點的坐標，PM=OG=2m，把P的坐標代入反比例函數(shù)y=-$\frac{6}{x}$，求得m的值，即可求得PM．

解答 解：（1）∵點E（-2，3）在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（k＜0）的圖象上，
∴k=-2×3=-6；
（2）∵四邊形OABC是矩形，
∴AB∥x軸，
∵點E（-2，3），
∴AE=2，
∵BE=2AE，
∴BE=4，
∴AB=6，
∴B的橫坐標為-6，
∴F的橫坐標為-6，
代入y=-$\frac{6}{x}$得y=-$\frac{6}{-6}$=1，
∴F（-6，1），
∵BC=OA=3，
∴BF=2，
∴tan∠BEF=$\frac{BF}{BE}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；
（3）設(shè)P的縱坐標為m，作PG⊥OC于G，
∵PM⊥OA，
∴M的縱坐標為m，四邊形OGPM是矩形，
∴OM=m，PM=OG，
∵OM=ON，
∴ON=m，△MON是等腰直角三角形，
∴∠MNO=45°，
∵∠PNM=90°，
∴∠PNC=45°，
∴△PNG是等腰直角三角形，
∴PG=NG=m，
∴OG=2m，
∴P（-2m，m），
代入入y=-$\frac{6}{x}$得m=-$\frac{6}{-2m}$，
解得m=$\sqrt{3}$，
∴OG=2$\sqrt{3}$，
∴PM=2$\sqrt{3}$．

點評 本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．