Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），直線(xiàn)x=2與x軸相交于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)y=x²的頂點(diǎn)在直線(xiàn)AO上運(yùn)動(dòng)，與直線(xiàn)x=2交于點(diǎn)P，設(shè)平移后的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．
（1）如圖1，若m=-1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）在拋物線(xiàn)平移的過(guò)程中，當(dāng)△PMA是等腰三角形時(shí)，求m的值；
（3）如圖2，當(dāng)線(xiàn)段BP最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出直線(xiàn)OA的解析式，代入m=-1，求出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出拋物線(xiàn)解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)M作MN垂直于直線(xiàn)x=2，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AM，連接MP，設(shè)出拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，表示PA，AM，MN，的長(zhǎng)度，結(jié)合∠A的三角函數(shù)列出方程求解即可；
（3）先求出BP最短時(shí)的拋物線(xiàn)解析式，設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，根據(jù)題意構(gòu)造平行線(xiàn)，分Q在直線(xiàn)OA的上方和下方兩種情況分別列式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)OA所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=2x．
由題意，把x=-1，代入得，y=-2，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M（-1，-2），
∴拋物線(xiàn)解析式為：y=（x+1）²-2=x²+2x-1，
當(dāng)x=2時(shí)，y=7，
∴點(diǎn)P（2，7）；
（2）如圖1，

在拋物線(xiàn)平移的過(guò)程中，設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)（m，2m）當(dāng)△PMA是等腰三角形時(shí)，
當(dāng)PA=PM，
由點(diǎn)A（2，4），
可求：tan∠A=$\frac{1}{2}$，cos∠A=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
過(guò)點(diǎn)M作MN垂直于直線(xiàn)x=2，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AM，連接MP，
拋物線(xiàn)解析式為：y=（x-m）²+2m，
當(dāng)x=2時(shí)，y=m²-2m+4，
此時(shí)，MN=2-m，AN=4-2m，
AP=4-（m²-2m+4）=-m²+2m，
∴AH=AP×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{-2\sqrt{5}{m}^{2}+4\sqrt{5}m}{5}$，
AM=2AH=$\frac{-4\sqrt{5}{m}^{2}+8\sqrt{5}m}{5}$，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
代入解得：m=$\frac{5}{4}$，或m=2（舍去）
∴m=$\frac{5}{4}$；
②昂AM=AP時(shí)，$\frac{-4\sqrt{5}{m}^{2}+8\sqrt{5}m}{5}$=-m²+2m，
解得：m=2或0，都不合題意舍棄，
③當(dāng)MA=MP時(shí)，$\frac{\frac{1}{2}AP}{AM}$=cos∠A，
∴$\frac{1}{2}$（-m²+2m）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{-4\sqrt{5}{m}^{2}+8\sqrt{5}m}{5}$，
解得m=0或2不合題意舍棄
綜上所述，m的值為$\frac{5}{4}$

（3）如圖2，

∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在直線(xiàn)OA上移動(dòng)，
∴y=2m．
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2m）．
∴拋物線(xiàn)函數(shù)解析式為y=（x-m）²+2m．
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，m²-2m+4）．
∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
∴當(dāng)m=1時(shí)，PB最短．
當(dāng)線(xiàn)段PB最短時(shí)，此時(shí)拋物線(xiàn)的解析式為y=（x-1）²+2
即y=x²-2x+3．
假設(shè)在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q，使S_△QMA=S_△PMA．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，x²-2x+3）．
①點(diǎn)Q落在直線(xiàn)OA的下方時(shí)，過(guò)P作直線(xiàn)PC∥AO，交y軸于點(diǎn)C，
∵PB=3，AB=4，
∴AP=1，
∴OC=1，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-1），
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，3），
∴直線(xiàn)PC的函數(shù)解析式為y=2x-1，
∵S_△QMA=S_△PMA，
∴點(diǎn)Q落在直線(xiàn)y=2x-1上，
∴x²-2x+3=2x-1，
解得x₁=2，x₂=2，
即點(diǎn)Q（2，3），
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，
∴此時(shí)拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q（2，3），使△QMA與△APM的面積相等，
②當(dāng)點(diǎn)Q落在直線(xiàn)OA的上方時(shí)，
作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)D，過(guò)D作直線(xiàn)DE∥AO，交y軸于點(diǎn)E，
∵AP=1，
∴EO=DA=1，
∴E、D的坐標(biāo)分別是（0，1），（2，5），
∴直線(xiàn)DE函數(shù)解析式為y=2x+1，
∵S_△QMA=S_△PMA，
∴點(diǎn)Q落在直線(xiàn)y=2x+1上，
∴x²-2x+3=2x+1，
解得：x=$2+\sqrt{2}$，或x=$2-\sqrt{2}$，
代入y=2x+1，得：y=$5+2\sqrt{2}$或y=$5-2\sqrt{2}$，
∴△QMA的面積與△PMA的面積相等時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（$2+\sqrt{2}$，$5+2\sqrt{2}$），（$2-\sqrt{2}$，$5-2\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，題中涉及了一次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的平移、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．