Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3），B（0，1）．
（1）求拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)C，
①求△ABC的面積；
②在y軸上取一點(diǎn)P，使△ABP與△ABC相似，求滿足條件的所有P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將A（1，3），B（0，1），代入y=-

1

2

x2+bx+c，即可得出答案；
（2）①由對(duì)稱性得C（4，3），根據(jù)三角形面積公式即可求解；
②將直線AC與y軸交點(diǎn)記作D，由

AD

BD

=

BD

CD

=

1

2

，∠CDB為公共角，可得△ABD∽△BCD．從而∠ABD=∠BCD．分1°當(dāng)∠PAB=∠ABC時(shí)，2°當(dāng)∠PAB=∠BAC時(shí)兩種情況討論即可得出答案．

解答：解：（1）將A（1，3），B（0，1），代入y=-

1

2

x2+bx+c，
解得b=

5

2

，c=1．
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+

5

2

x+1．
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

5

2

，

33

8

)．

（2）①由對(duì)稱性得C（4，3）．
∴S_△ABC=

1

2

|3-1|•|4-1|=3．
②將直線AC與y軸交點(diǎn)記作D，
∵

AD

BD

=

BD

CD

=

1

2

，∠CDB為公共角，
∴△ABD∽△BCD．
∴∠ABD=∠BCD．
1°當(dāng)∠PAB=∠ABC時(shí)，

PB

AC

=

AB

BC

，
∵BC=

(0-4)2+(1-3)2

=2

5

，
AB=

(0-1)2+(1-3)2

=

5

，AC=3
∴PB=

3

2

，
∴P1(0，

5

2

)．
2°當(dāng)∠PAB=∠BAC時(shí)，

PB

BC

=

AB

AC

，
∴

PB

2 5

=

5

3

，
∴PB=

10

3

，
∴P2(0，

13

3

)．
綜上所述滿足條件的P點(diǎn)有(0，

5

2

)，(0，

13

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，難度適中，關(guān)鍵是掌握分類討論的思想解題．