Question

如圖，在平面直角坐標系中有一直角梯形OABC，∠AOC=90°，AB∥OC，OC在x軸上，過A、B、C三點的拋物線表達式為．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）如果在梯形OABC內有一矩形MNPO，使M在y軸上，N在BC邊上，P在OC邊上，當MN為多少時，矩形MNPO的面積最大？最大面積是多少？
（3）若用一條直線將梯形OABC分為面積相等的兩部分，試說明你的分法．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的方程已知為：，由題中的圖形可知A點的橫坐標為x=0，代入拋物線方程，可得A點的縱坐標；
因為AB∥OC，所以B點縱坐標與A點相同，再將它代入拋物線方程可得B點坐標；
C點在x軸上，C點縱坐標為0，將它代入方程可得C點坐標．
（2）法一：過B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，則Rt△BNH∽Rt△BCQ，

設MN=x，NP=y，，可得x和y的關系式，再由長方形的面積公式：
S=xy，將y用x表達，可得到S關于x的二次函數，再求此二次函數的最大值，由此可知MN為何值時，面積最大；
法二：過B作BQ⊥x軸于Q，則Rt△CPN∽Rt△CQB，后面于法一的解答相同；
法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答；
法四：過B點作BQ⊥x軸于Q，則Rt△BQC∽Rt△NPC，△BQC為等腰直角三角形，△NPC為等腰直角三角形，由此可以得出
PN與MN的關系式，再代入面積公式，可得二次函數，再求此二次函數的最大值即可．
（3）①對于任意一條直線，將直線從直角梯形的一側向另一側平移的過程中，總有一個位置使得直線將該梯形面積分割成相等的兩部分．

②過上、下底作一條直線交AB于E，交OC于F，且滿足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底與下底的和為13即可．

③構造一個三角形，使其面積等于整個梯形面積的一半，

④平行于兩底的直線，一定會有其中的一條將原梯形分成面積相等的兩部分；
．
解答：解：（1）由圖形得，點A橫坐標為0，將x=0代入，
得y=10，
∴A（0，10）
∵AB∥OC，
∴B點縱坐標為10，將y=10代入拋物線表達式得，
，
∴x₁=0，x₂=8．
∵B點在第一象限，
∴B點坐標為（8，10）
∵C點在x軸上，
∴C點縱坐標為0，將y=0代入拋物線表達式得，

解得x₁=-10，x₂=18．
∵C在原點的右側，
∴C點坐標為（18，0）． （4分）
（2）法一：過B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，則Rt△BNH∽Rt△BCQ，
∴． （5分）
設MN=x，NP=y，則有．
∴y=18-x． （6分）
∴S_矩形MNOP=xy=x（18-x）=-x²+18x=-（x-9）²+81．
∴當x=9時，有最大值81．
即MN=9時，矩形MNPO的面積最大，最大值為81． （8分）

法二：過B作BQ⊥x軸于Q，則Rt△CPN∽Rt△CQB，
∴．
設MN=x，NP=y，則有．
∴y=18-x．
∴S_矩形MNOP=xy=x（18-x）=-x²+18x=-（x-9）²+81．
∴當x=9時，有最大值81．
即MN=9時，矩形MNPO的面積最大，最大值為81．
法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答，解答過程與法二相同．
法四：過B點作BQ⊥x軸于Q，則Rt△BQC∽Rt△NPC，
QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，
∴△BQC為等腰直角三角形，
∴△NPC為等腰直角三角形．
設MN=x時矩形MNPO的面積最大．
∴PN=PC=OC-OP=18-x．
∴S_矩形MNOP=MN•PN=x（18-x）=-x²+18x=-（x-9）²+81．
∴當x=9時，有最大值81．
即MN=9時，矩形MNPO的面積最大，最大值為81．
（3）①對于任意一條直線，將直線從直角梯形的一側向另一側平移的過程中，總有一個位置使得直線將該梯形面積分割
成相等的兩部分．

②過上、下底作一條直線交AB于E，交OC于F，且滿足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底與下底的和為13即可． （4分）

③構造一個三角形，使其面積等于整個梯形面積的一半，因此有：
△OCP₁，；△OCP₂，；△OAP₃，P₃（13，0）；△CBP₄，P₄（5，0）；
④平行于兩底的直線，一定會有其中的一條將原梯形分成面積相等的兩部分；

點評：本題考查的有：矩形的面積，二次函數的最值，梯形的面積等考點．