Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，BF∥CE交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形ECBF是平行四邊形；

(2) 當(dāng)∠A=時(shí)，求證：四邊形ECBF是菱形.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)三角形的中位線定理可得EF∥BC，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可判定四邊形ECBF是平行四邊形；（2）根據(jù)直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和斜邊的中線等于斜邊的一半可得， ，即可得，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判定四邊形ECBF是菱形.

試題解析： (1) 證明：∵D，E分別為邊AC，AB的中點(diǎn)，

∴DE∥BC，即EF∥BC.

又∵BF∥CE，

∴四邊形ECBF是平行四邊形.

(2)證法一：

∵∠ACB=，∠A=，E為AB的中點(diǎn)，

∴， .

∴.

又由(1)知，四邊形ECBF是平行四邊形,

∴四邊形ECBF是菱形.

證法二：

∵∠ACB=，∠A=，E為AB的中點(diǎn)，

∴，∠ABC=.

∴△是等邊三角形.

∴.

又由(1)知，四邊形ECBF是平行四邊形,

∴四邊形ECBF是菱形.

證法三：

∵E為AB的中點(diǎn)，∠ACB=，∠A=，

∴, ∠ABC=.

∴△是等邊三角形.

∴.

又由(1)知，四邊形ECBF是平行四邊形,

∴四邊形ECBF是菱形.