Question

觀察下列各式：
①4×1×2+1=（1+2）²；②4×2×3+1=（2+3）²；③4×3×4+1=（3+4）²…
（1）根據(jù)你觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出4×2012×2013+1可以看成哪個(gè)數(shù)的平方？
（2）試猜想第n個(gè)等式，并通過計(jì)算驗(yàn)證它是否成立．
（3）利用前面的規(guī)律，將4(

1

2

x2+x)(

1

2

x2+x+1)+1改寫成完全平方形式．

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類,完全平方式

專題：

分析：（1）根據(jù)已知的三個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：等式左邊是序號(hào)數(shù)與比序號(hào)數(shù)大1的兩個(gè)正整數(shù)積的4倍與1的和，等式右邊是序號(hào)數(shù)與比序號(hào)數(shù)大1的兩個(gè)正整數(shù)的和的平方，由此得出4×2012×2013+1可以看成2012與2013這兩個(gè)正整數(shù)的和的平方；
（2）猜想第n個(gè)等式為4n（n+1）+1=（n+n+1）²=（2n+1）²，運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算驗(yàn)證即可；
（3）利用前面的規(guī)律，可知4(

1

2

x2+x)(

1

2

x2+x+1)+1=（

1

2

x²+x+

1

2

x²+x+1）²=（x²+2x+1）²=（x+1）⁴．

解答：解：（1）根據(jù)觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，得到4×2012×2013+1=（2012+2013）²=4025²；

（2）猜想第n個(gè)等式為4n（n+1）+1=（2n+1）²，理由如下：
∵左邊=4n（n+1）+1=4n²+4n+1，右邊=（2n+1）²=4n²+4n+1，
∴左邊=右邊，
∴4n（n+1）+1=（2n+1）²；

（3）利用前面的規(guī)律，可知
4(

1

2

x2+x)(

1

2

x2+x+1)+1=（

1

2

x²+x+

1

2

x²+x+1）²=（x²+2x+1）²=（x+1）⁴，
即4(

1

2

x2+x)(

1

2

x2+x+1)+1=（x+1）⁴．

點(diǎn)評：此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類與完全平方公式，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力．本題的關(guān)鍵是得出規(guī)律4n（n+1）+1=（2n+1）²．