Question

如圖，等邊△ABC的邊長為2

3

，以BC邊所在直線為x軸，BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標系．
（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式．
（2）如圖，設(shè)⊙P是△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB、AC于E、F點，求陰影部分的面積．
（3）點D為y軸上一動點，當以D點為圓心，3為半徑的⊙D與直線AB、AC都相切時，試判斷⊙D與（2）中⊙P的位置關(guān)系，并簡要說明理由．
（4）若（2）中⊙P的大小不變，圓心P設(shè)y軸運動，設(shè)P點坐標為（0，a），則⊙P與直線AB、AC有幾種位置關(guān)系？并寫出相應(yīng)位置關(guān)系時a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)過A、B、C三點拋物線解析式為y=ax²+bx+c，利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式；
（2）易證⊙O切BC于O點，連接PE、PF，求得△APE與扇形EPF的面積，由S_陰影=2S_△APE-S_扇形EPF即可求得陰影部分的面積；
（3）設(shè)⊙D分別切直線AB、AC于M、N點，連接DM，由DM=3，∠DAM=30°，即可求得AD與PD的長，由PD=OD+OP，即可得⊙P與⊙D外切，則當點D在y軸負半軸時，設(shè)⊙D切直線AB、AC于點Q、G，連接DG，易求得DP=8，由DP＞3+1，可得⊙D與⊙P外離；
（4）當a=-1或a=-5時，⊙P與直線AB、AC相切；當-5＜a＜-1時，⊙P與直線AB、AC相交；當a＜-5或a＞-1時，⊙P與直線AB、AC相離．

解答：解：（1）由條件求得A（0，-3），B（-

3

，0），C（

3

，0），
設(shè)過A、B、C三點拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
代入，得

3a+ 3 b+c=0 3a- 3 b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=0 c=-3

，
∴所求拋物線解析式為：y=x²-3．

（2）易證⊙P切BC于O點．
如圖，連接PE、PF，
∵△ABC=

1

2

×BC×PE×3=

1

2

BC×OA，
∴3PE=OA=3，
∴PE=PF=1，PA=2，AE=

3

，
∴S_△APE=

3

2

，S_扇形EPF=

π

3

，S_陰影=2S_△APE-S_扇形EPF=

3

-

π

3

，
（或運用S_陰影=

S△ABC-S圓O

3

=

3 3 -π

3

=

3

-

π

3

求得．）

（3）當點D在y軸正半軸時，
如圖，設(shè)⊙D分別切直線AB、AC于M、N點，連接DM，
∵DM=3，∠DAM=30°，
∴AD=6，
又∵AP=2，
∴PD=4，
∴PD=OD+OP，
∴⊙P與⊙D外切．
當點D在y軸負半軸時，設(shè)⊙D切直線AB、AC于點Q、G，連接DG，易求得DP=8，
∴DP＞3+1，
∴⊙D與⊙P外離．

（4）⊙P與直線AB、AC有三種位置關(guān)系：相切、相交、相離．
如圖，當a=-1或a=-5時，⊙P與直線AB、AC相切；
當-5＜a＜-1時，⊙P與直線AB、AC相交；
當a＜-5或a＞-1時，⊙P與直線AB、AC相離．

點評：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，切線的性質(zhì)與判定等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系是解此題的關(guān)鍵．