Question

（2010•自貢）如圖，在直角坐標平面內，O為坐標原點，A點的坐標為（1，0），B點在x軸上且在點A的右側，AB=OA，過點A和B作x軸的垂線分別交二次函數y=x²圖象于點C和D，直線OC交BD于M，直線CD交y軸于點H．記C、D的橫坐標分別為x_c，x_D，于點H的縱坐標y_H．
（1）證明：①S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3；②x_c•x_D=-y_H；
（2）若將上述A點坐標（1，0）改為A點坐標（t，0）（t＞0），其他條件不變，結論S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3是否仍成立？請說明理由．
（3）若A的坐標（t，0）（t＞0），又將條件y=x²改為y=ax²（a＞0），其他條件不變，那么x_c，x_D和y_H又有怎樣的數量關系？寫出關系式，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意易求得A、B的坐標，將它們的橫坐標代入拋物線的解析式中即可求出C、D的坐標；
①首先求出直線OC的解析式，聯(lián)立B點的橫坐標即可求出M點的坐標；以DM為底，A、B橫坐標差的絕對值為高，可求出△CMD的面積；同理可根據梯形的面積公式求出梯形ABMC的面積，進而可判斷出所求的結論是否正確；
②用待定系數法易求得直線CD的解析式，即可得到H點的坐標，然后再判斷所求的結論是否正確．
（2）的解法同（1）；
（3）由于二次函數的解析式為y=ax²（a＞0），且點A的坐標為（t，0）時，點C的坐標為（t，at²），點D的坐標為（2t，4at²），然后設直線CD的解析式為y=kx+b，利用待定系數法即可求出CD的函數解析式，接著得到H的坐標為（0，-2at²），也就得到題目的結論．
解答：（1）證明：由已知可得點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（1，1），點D的坐標為（2，4），且
直線OC的函數解析式為y=x．
∴點M的坐標為（2，2），易得S_△CMD=1，S_梯形ABMC=（1.5分）
∴S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3，即結論①成立．
設直線CD的函數解析式為y=kx+b，
則，
即；
∴直線CD的解析式為y=3x-2．
由上述可得點H的坐標為（0，-2），
即y_H=-2（2.5分）
∴x_C•x_D=-y_H．
即結論②成立（3分）

（2）解：結論S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3仍成立；（4分）
理由如下：∵點A的坐標為（t，0），（t＞0）；
則點B的坐標為（2t，0）
從而點C的坐標為（t，t²），點D的坐標為（2t，4t²）；
設直線OC的解析式為y=kx，則t²=kt得k=t
∴直線OC的解析式為y=tx（5分）
又設M的坐標為（2t，y）
∵點M在直線OC上
∴當x=2t時，y=2t²
∴點M的坐標為（2t，2t²）（6分）
∴S_△CMD：S_梯形ABMC=•2t²•t：（t²+2t²）•t
=t³：（t³）
=（7分）

（3）解：x_C，x_D和y_H有關數量關系x_C•x_D=-y_H（8分）
由題意，當二次函數的解析式為y=ax²（a＞0），且點A的坐標為（t，0）時，點C的坐標為（t，at²），點D的坐標為（2t，4at²）（9分）
設直線CD的解析式為y=kx+b
則，
得；
∴CD的解析式為y=3atx-2at²（11分）
則H的坐標為（0，-2at²）
即y_H=-2at²（11.5分）
∵x_C•x_D=t•2t=2t²（12分）
∴x_C•x_D=-y_H．
點評：此題主要考查了函數圖象交點坐標及圖形面積的求法，綜合性強，能力要求較高．