Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是邊AC上不與點(diǎn)A、C重合的任意一點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，M是BD的中點(diǎn)．
（1）求證：CM=EM；
（2）如果BC=，設(shè)AD=x，CM=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上移動時，∠MCE的大小是否發(fā)生變化？如果不變，求出∠MCE的大�。蝗绻�發(fā)生變化，說明如何變化．

Answer 1

（1）證明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是BD的中點(diǎn)，
∴CM=BD．
同理ME=BD，
∴CM=ME．
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=，
∴AB=2BC=2．
由勾股定理得AC=3，
∵AD=x，∴CD=3-x，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，
∴BD²=BC²+CD²，
∴BD=，
∵CM=BD，CM=y，
∴y=（0＜x＜3），
（3）不變．
∵M(jìn)是Rt△BCD斜邊BD的中點(diǎn)，∴MB=MC，∴∠MBC=∠MCB．
∴∠CMD=∠MBC+∠MCB=2∠MBC，
∵M(jìn)是Rt△BED斜邊BD的中點(diǎn)，
同理可得：∠EMD=2∠MBE，
∠CMD+∠EMD=2∠MBC+2∠MBE=2（∠MBC+∠MBE）=2∠ABC，
即∠CME=2∠ABC=120°，
∵M(jìn)C=ME，
∴∠MCE=∠MEC=30°．
分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明；
（2）根據(jù)CM=BD，可得BD=2y，根據(jù)勾股定理又可得出BD用x表示的形式，換成等式即可得出y與x的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)（1）可知，∠MBC=∠MCB，∠MEB=∠MBE，易得出∠CMD=2∠CBM，∠DME=2∠MBE，即∠CME=2∠CBA是定值，又知CM=ME，即可證明∠MCE是定值，即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線，含30°角的直角三角形以及勾股定理的知識，難度較大，熟練掌握各個知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．