Question

已知：△ABC為等邊三角形，點M是射線BC上任意一點，點N是射線CA上任意一點，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點
（1）觀察圖中是否有全等三角形？若有，直接寫出：

△ABM≌△BCN

；（寫出一對即可）
（2）求∠BQM的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等，三個角都是60°可以利用邊角邊證明△ABM與△BCN全等；也可以先利用等角的補(bǔ)角相等，先證明∠BAN=∠ACM，然后根據(jù)邊的關(guān)系證明AN=CM，再根據(jù)邊角邊證明△ACM與△BAN全等；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠M=∠N，然后根據(jù)∠M+∠CAM=∠ACB=60°，∠BQM=∠N+∠NAQ，又∠CAM與∠NAQ是對頂角，從而得解．

解答：解：（1）有全等三角形，△ABM≌△BCN，△ACM≌△BAN，
①△ABM≌△BCN，
證明如下：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵在△ABM與△BCN中，

AB=BC ∠ABC=∠ BM=CN

ACB，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
②△ACM≌△BAN，
證明如下：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴180°-∠BAC=180°-∠ACB，
即∠BAN=∠ACM，
∵BM=CN，
∴BM-BC=CN-AC，
即CM=AN，
∵在△ACM與△BAN中，

AB=AC ∠BAN=∠ACM AN=CM

，
∴△ACM≌△BAN（SAS）；

（2）根據(jù)（1）可得△ABM≌△BCN，
∴∠M=∠N，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠M+∠CAM=∠ACB=60°，∠BQM=∠N+∠NAQ，
又∵∠CAM=∠NAQ（對頂角相等），
∴∠BQM=∠ACB=60°．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形找出全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵．