Question

20．如圖，MN經(jīng)過△ABC的頂點A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D．
（1）求證：△ADE∽△ABC；
（2）連結(jié)DE，如果DE=1，BC=3，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)MN∥BC，得到$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BD}$，$\frac{AN}{BC}=\frac{AE}{CE}$，等量代換得到$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，根據(jù)相似三角形的判定即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，得到DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，于是推出$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵MN∥BC，
∴$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BD}$，$\frac{AN}{BC}=\frac{AE}{CE}$，
又∵AM=AN，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，
∴△ADE∽△ABC；

（2）解：∵$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，
∴DE∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴MN=2AM=3．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．