Question

如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，以OB為直徑畫圓M，過D作⊙M的切線，切點為N，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，已知AE=5，CE=3，則DF的長是________．

Answer 1

4.8
分析：延長EF，過B作直線平行AC和EF相交于P，先根據(jù)菱形的對角線互相平分得出OE=1，利用△DMN∽△DEO及MN=DM，得出DE的長，進而利用中位線定理得出EP的長，再由△EFC∽△PFB，相似比是3：2，可得出EF的長，從而根據(jù)DF=DE+EF可求出DF的長度．
解答：解：延長EF，過B作直線平行AC和EF相交于P，
∵AE=5，EC=3，
∴AO=CE+OE，即有，OE=EN=1，
又∵△DMN∽△DEO，且MN=DM，
∴DE=3OE=3，
又∵OE∥BP，O是DB中點，所以E也是中點，
∴EP=DE=3，
∴BP=2，
又∵△EFC∽△PFB，相似比是3：2，
∴EF=EP×=1.8，
故可得DF=DE+EF=3+1.8=4.8．
故答案為：4.8．
點評：此題考查了菱形的性質、相似三角形的判定及性質，及切線的性質，綜合性較強，解答本題的關鍵是正確地作出輔助線，求出OE、DE的長，進而綜合利用三角形的中位線定理求出EP，難度較大．