Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+3與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與直線y=x+b相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，直線y=x+b與y軸交于點(diǎn)E．

（1）寫出直線BC的解析式．

（2）求△ABC的面積．

（3）若點(diǎn)M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從A向B運(yùn)動（不與A，B重合），同時(shí)，點(diǎn)N在射線BC上以每秒2個單位長度的速度從B向C運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，請寫出△MNB的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出點(diǎn)M運(yùn)動多少時(shí)間時(shí)，△MNB的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）BC的解析式為y=x+；

（2）×4×=

（3）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動2秒時(shí)，△MNB的面積達(dá)到最大，最大為．

【解析】

試題分析：（1）令y=0代入y=-x2+3求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x+b求出BC的解析式．

（2）聯(lián)立方程組求出B．C的坐標(biāo)．求出AB，CD的長后可求出三角形ABC的面積．

（3）過N點(diǎn)作NP⊥MB，證明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用線段比求出NP，BE的長．求出S與t的函數(shù)關(guān)系式后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值．

試題解析：（1）在y=-x2+3中，令y=0，∴-x2+3=0，∴x1=2，x2=﹣2

∴A（﹣2，0），B（2，0），又點(diǎn)B在y=-x+b上，∴0=-+b，b=

∴BC的解析式為y=-x+．由，得，．

∴C(-1，)，B（2，0），∴AB=4，CD=，

∴×4×=．過點(diǎn)N作NP⊥MB于點(diǎn)P，∵EO⊥MB，∴NP∥EO

∴△BNP∽△BEO，∴．由直線y=-x+可得：E(0,)

∴在△BEO中，BO=2，EO=，則BE=，∴，∴NP=t，∴S=.t．（4﹣t）=﹣t2+t（0＜t＜4）=﹣（t﹣2）2+

∵此拋物線開口向下，

∴當(dāng)t=2時(shí)，S最大=，∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動2秒時(shí)，△MNB的面積達(dá)到最大，最大為．