Question

13．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點F，AM⊥AB，垂足為A，AM分別交BD、CD于點O、H，以O(shè)為圓心OA長為半徑的圓交AM于點P，連接PB交CD于點E．
（1）求證：點C在⊙O上；
（2）求證：$\frac{PH}{OA}=\frac{HC}{AB}$；
（3）若⊙O的半徑為5，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性質(zhì)得出BD垂直平分AC，進而得出點C在⊙O上；
（2）利用菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)得出△PHC∽△OAB進而得出答案；
（3）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△PHE∽△PAB，進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AC的長，即可得出CE的長．

解答 （1）證明：連接OC，
∵四邊形ABCD在菱形，AC、BD為對角線，
∴BD垂直平分AC，
∴OA=OC，
又∵OA為⊙O的半徑，
∴點C在⊙O上．                   

（2）證明：連接PC，
∵四邊形ABCD在菱形，AC、BD為對角線，
∴AB∥CD，AC⊥BD
又∵AP為⊙O的直徑，AP⊥AB，
∴AC⊥PC，AP⊥DC，
∴PC∥BD，
∴∠PHC=∠PAB=90°，∠HPC=∠AOB，
∴△PHC∽△OAB，
∴$\frac{PH}{OA}=\frac{HC}{AB}$；

（3）解：∵四邊形ABCD在菱形，
∴AB∥CD，即HE∥AB，
∴△PHE∽△PAB，
∴$\frac{PH}{PA}=\frac{HE}{AB}$，
又∵PA=2OA，
∴$\frac{PH}{2OA}=\frac{HE}{AB}$，
∴$\frac{PH}{OA}=\frac{2HE}{AB}$，
由（2）得$\frac{PH}{OA}=\frac{HC}{AB}$，
∴$\frac{PH}{OA}=\frac{2HE}{AB}=\frac{HC}{AB}$，
∴2HE=HC，$CE=\frac{1}{2}HC$，
又∵⊙O的半徑為5，sin∠AOB=sin∠HPC=$\frac{4}{5}$
∴PA=10，
在Rt△PAB中，sin∠APC=$\frac{AC}{PA}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AC}{10}=\frac{4}{5}$，得AC=8，
∴由勾股定理得：$PC=\sqrt{{{10}^2}-{8^2}}=6$，
在Rt△PHC中，sin∠HPC=$\frac{HC}{PC}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{HC}{6}=\frac{4}{5}$，
∴$HC=\frac{24}{5}$，
∴$CE=\frac{1}{2}HC=\frac{12}{5}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，正確得出△PHC∽△OAB是解題關(guān)鍵．