Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），且OC=OB，tan∠OAC=4．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AD下方的拋物線上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，作PM平行于y軸交直線AD于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)E，求△PHM的周長的最大值．

（3）在（2）的條件下，如圖2，在直線EP的右側(cè)、x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NG⊥x軸交x軸于點(diǎn)G，使得以點(diǎn)E、N、G為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4（2）4+4（3）存在

【解析】

（1）先由銳角三角函數(shù)的定義求得C的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）先求得拋物線的對(duì)稱軸，從而得到點(diǎn)D（3，-4），然后可求得直線AD的解析式y=-x-1，故∠BAD=45°，接下來證明△PMD為等腰直角三角形，所當(dāng)PM有最大值時(shí)三角形的周長最大，設(shè)P（a，a2-3a-4），M（-a-1），則PM=-a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根據(jù)△MPH的周長=（1+）PM求解即可；
（3）設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4）, 若= 時(shí)，△AOC∽△EGN,

則=，求出a 的值，若=時(shí)，△AOC∽△NGE，則=4，

求出a的值，舍去不符合的即可得出答案.

（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴OA=1．

又∵tan∠OAC=4，

∴OC=4，

∴C（0，﹣4）．

∵OC=OB，

∴OB=4，

∴B（4，0）．

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4）

∵將x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4．

（2）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣=，C（0，﹣4），

∵點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴D（3，﹣4）

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，

解得k=﹣1，b=﹣1，

∴直線AD的解析式y(tǒng)=﹣x﹣1．

∵直線AD的一次項(xiàng)系數(shù)k=﹣1，

∴∠BAD=45°．

∵PM平行于y軸，

∴∠AEP=90°，

∴∠PMH=∠AME=45°．

∴△MPH的周長=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．

設(shè)P（a，a2﹣3a﹣4），則M（a，﹣a﹣1），

則PM═﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4．

∴當(dāng)a=1時(shí)，PM有最大值，最大值為4．

∴△MPH的周長的最大值=4×（1+）=4+4；

（3）存在

點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．

附解題過程：設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4）

①如圖1，

若= 時(shí)，△AOC∽△EGN．

則=，整理得：a2+a﹣8=0．

得：a=（負(fù)值舍去）∴點(diǎn)G為（，0）

②如圖2，

若=時(shí)，△AOC∽△NGE．

則=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．

得：a=（負(fù)值舍去）

∴點(diǎn)G為（，0）．

綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．