Question

如圖，P是⊙O的弦CB延長線上一點，點A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP．
（1）求證：PA是⊙O的切線．
（2）若PB：BC=2：3且PC=10，求PA的長．

Answer 1

（1）證明：作⊙O的直徑AD，連接BD．
則∠C=∠D（同弧所對的圓周角相等），∠ABD=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠D+∠BAD=90°，
∴∠C+∠BAD=90°（等量代換）；
又∵∠PCA=∠BAP，
∴∠BAD+∠PAB=90°，即AP⊥AD，
∴PA是⊙O的切線．

（2）解：∵PB：BC=2：3且PC=10，
∴PB=4；
又∵PA²=PB•PC，
∴PA²=4×10=40，
∴PA=2．
分析：（1）欲證PA是⊙O的切線，只需證明AP⊥AD即可；
（2）利用切割線定理（從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項）解答．
點評：本題綜合考查了切線的判定與性質、切割線定理．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．