Question

如圖，在△ABC中，E是AB的中點(diǎn)，AF交BC于F，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足為D．
（1）求證：四邊形BFDE是梯形；
（2）若BC=12，AC=8，求梯形BFDE中位線的長．

Answer 1

（1）證明：∵在△ACF中，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足為D，
∴CD是底邊AF的中線，
∴AD=DF，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴DE是△位ABF的中線，
∴DE∥BF且DE=BF，
∵BE不平行DF，
∴四邊形BFDE是梯形；

（2）解：∵在△ACF中，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，
∴△CAF是等腰三角形，
∴CA=CF=8，
∵BC=12，
∴BF=4，
∵DE是△ABF的中位線，
∴DE=BF=2，
∴梯形BFDE中位線的長=（DE+BF）=3．
分析：（1）根據(jù)題干條件在△ACF中，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足為D，故可知CD是底邊AF的中線，進(jìn)一步得到D是AF邊的中點(diǎn)，又知E是AB的中點(diǎn)，故可證出DE是△位ABF的中線，于是證出DE∥BF，BE不平行DF，故可證得四邊形BFDE是梯形，
（2）根據(jù)在△ACF中，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，即可證得△CAF是等腰三角形，于是得到CA=CF=8，結(jié)合題干條件可得BF=4，再根據(jù)DE是△ABF的中位線，求出DE=2，最后根據(jù)梯形中位線的知識(shí)求出梯形中位線的長度．
點(diǎn)評：本題主要考查梯形和梯形中位線的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握梯形的判定定理，此題是基礎(chǔ)題，難度不大．