Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=25cm，BC=30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA以2.5cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BC以4cm/s的速度向C運(yùn)動(dòng)，PQ中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）當(dāng)CQ=CP時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AB；
（3）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出S的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例,根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式,等腰三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）利用兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)以及結(jié)合運(yùn)動(dòng)速度得出CQ=30-4t，CP=2.5t，進(jìn)而求出即可；
（2）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得出

CQ

CB

=

CP

CA

，進(jìn)而得出答案；
（3）首先表示出△CPQ的面積為：

1

2

×CP×CQsinC，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）在△ABC中AB=AC=25cm，BC=30cm，
點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA以2.5cm/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BC以4cm/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，
PQ中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
則CQ=30-4t，CP=2.5t，
∵CQ=CP，
∴30-4t=2.5t，
解得：t=

60

13

，
即當(dāng)t=

60

13

秒時(shí)CQ=CP；

（2）∵PQ∥AB，
∴

CQ

CB

=

CP

CA

，
∴

30-4t

30

=

2.5t

25

，
解得：t=

30

7

；

（3）在等腰三角形ABC中，AB=AC=25cm，BC=30cm，
如圖所示：設(shè)BC邊上的高為AD，
則AD=20，sinC=

AD

AC

=

20

25

=

4

5

，
△CPQ的面積為：

1

2

×CP×CQsinC=

1

2

（30-4t）×2.5t×

4

5

=（30-4t）t，
面積S=-（t-

15

4

）²+

225

4

，（0＜t＜7.5），
因?yàn)镼點(diǎn)走完BC需要7.5秒，P點(diǎn)走完AC需要10秒，
所以S的取值范圍為：0≤S≤

225

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和二次函數(shù)應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合表示出△CPQ的面積是解題關(guān)鍵．