Question

如圖，在△ABC中，三條角平分線交于點O，過點O作BO的垂線，交AB，BC于M，N兩點，求證：△AMO∽△AOC∽△ONC．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：證明題

分析：等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)求得∠BMN=90°-

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∠ABC，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得到∠BMN=∠BAO+∠ACO，再由三角形外角的性質(zhì)得到∠BMN=∠MAO+∠MOA，則∠ACO=∠MOA，又∠MAO=∠OAC，由“兩角法”證得△AMO∽△AOC，同理可證△CNO∽△COA，所以△AMO∽△AOC∽△ONC．

解答：證明，如圖，∵BO是∠ABC的平分線，BO⊥MN，
∴BM=BN，
∴∠BNM=∠BMN，
∴∠BMN=90°-

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∠ABC，
∴2∠BMN=180°-∠ABC=∠BAC+∠BCA=2∠BAO+2∠ACO，
∴∠BMN=∠BAO+∠ACO
又∵∠BMN=∠MAO+∠MOA，
∴∠ACO=∠MOA，
又∵∠MAO=∠OAC，
∴△AMO∽△AOC．
同理可證△CNO∽△COA．
∴△AMO∽△AOC∽△ONC．

點評：本題考查了相似三角形的判定．（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；
（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；
（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．