Question

已知，如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，E是BO的中點，過點B作AC的平行線，交CE的延長線于點F，連結(jié)BF．
（1）求證：△OEC≌△BEF；
（2）當平行四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形AFBO是菱形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：菱形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AAS證得兩個三角形全等．
（2）若四邊形AFBO是菱形，則OB=OA．故當平行四邊形ABCD的對角線相等，即平行四邊形ABCD是矩形時，四邊形AFBO是菱形．

解答：證明：（1）如圖，取BC的中點G，連接EG．
∵E是BO的中點，
∴EG是△BFC的中位線，
∴EG=

1

2

BF．
同理，EG=

1

2

OC，
∴BF=OC．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，
∴BF=OC．
又∵BF∥AC，
∴∠FBE=∠COE．
在△OEC與△BEF中，

∠OEC=∠BEF ∠EOC=∠EBF OC=BF

，
∴△OEC≌△BEF（AAS）；

（2）當平行四邊形ABCD是矩形時，四邊形AFBO是菱形．理由如下：
∵平行四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴平行四邊形AFBO是菱形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定，有利于學生思維能力的訓練．涉及的知識點有：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；矩形的對角線相等．