Question

19．如圖，平行于y軸的直尺（一部分）與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）（x＞0）相交于點(diǎn)A、C，與x軸相交于點(diǎn)B、D，連接AC．已知點(diǎn)A、B的刻度分別為5，2（單位：cm），直尺的寬度為2cm，OB=2cm．
（1）求k的值；
（2）求經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線的解析式；
（3）連接OA、OC，求△OAC的面積．

Answer 1

分析 （1）首先求得A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；
（2）首先求得C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線的解析式；
（3）根據(jù)S_△OAC=S_△AOB+S_梯形ABDC-S_△OCD利用直角三角形和梯形的面積公式求解．

解答 解：（1）∵AB=5-2=3cm，OB=2cm，
∴A的坐標(biāo)是（2，3），
代入y=$\frac{k}{x}$得3=$\frac{k}{2}$，
解得：k=6；
（2）OD=2+2=4，
在y=$\frac{6}{x}$中令x=4，解得y=$\frac{3}{2}$．
則C的坐標(biāo)是（4，$\frac{3}{2}$）．
設(shè)AC的解析式是y=mx+n，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=3}\\{4m+n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
則直線AC的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$；
（3）直角△AOB中，OB=2，AB=3，則S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AB=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
直角△ODC中，OD=4，CD=$\frac{3}{2}$，則S_△OCD=$\frac{1}{2}$OD•CD=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$=3．
在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD=$\frac{3}{2}$，則S_梯形ABDC=$\frac{1}{2}$（AB+DC）•BD=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{3}{2}$）×2=$\frac{9}{2}$．
則S_△OAC=S_△AOB+S_梯形ABDC-S_△OCD=3+$\frac{9}{2}$-3=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，理解S_△OAC=S_△AOB+S_梯形ABDC-S_△OCD是解決本題的關(guān)鍵．