Question

【題目】問(wèn)題：如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，∠DPC=∠A=∠B=90°．

（1）求證：ADBC=APBP．
（2）探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．

（3）應(yīng)用：請(qǐng)利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題：
如圖3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，由點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且滿足∠DPC=∠A．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∠BPC+∠APD=90°，

∴∠APD=∠BPC，

∴△ADP∽△BPC，

∴ ，

∴ADBC=APBP

（2）結(jié)論ADBC=APBP仍成立；

理由：證明：如圖2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，

又∵∠BPD=∠A+∠APD，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，

∵∠DPC=∠A=θ，

∴∠BPC=∠APD，

又∵∠A=∠B=θ，

∴△ADP∽△BPC，

∴ ，

∴ADBC=APBP；

（3）解：如下圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，

∵AD=BD=10，AB=12，

∴AE=BE=6

∴DE= =8，

∵以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，

∴DC=DE=8，

∴BC=10﹣8=2，

∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

又∵∠DPC=∠A，

∴∠DPC=∠A=∠B，

由（1）（2）的經(jīng)驗(yàn)得ADBC=APBP，

又∵AP=t，BP=12﹣t，

∴t（12﹣t）=10×2，

∴t=2或t=10，

∴t的值為2秒或10秒

【解析】（1）要證ADBC=APBP，將等積式轉(zhuǎn)化為比列式，可知需證△ADP∽△BPC，根據(jù)已知易證證明∠APD=∠BPC，即可得出結(jié)論。
（2）此題需證△ADP∽△BPC，還差一個(gè)條件，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠APD，結(jié)合已知得出∠BPC=∠APD，即可證得結(jié)論。
（3）抓住已知AD=BD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理求出DE的長(zhǎng)，再以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，得出DC=DE=8，從而求出BC的長(zhǎng)，再證明∠DPC=∠A=∠B，根據(jù)前兩題的證明過(guò)程可知ADBC=APBP，建立方程求出t的值。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用因式分解法和三角形的外角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握已知未知先分離，因式分解是其次．調(diào)整系數(shù)等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數(shù)，間接配方顯優(yōu)勢(shì)；三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．