Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，其中A（1，1），B（3，1），D（1，3）．反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過對角線BD的中點M，與BC，CD的邊分別交于點P、Q．

（1）直接寫出點M，C的坐標(biāo)；
（2）求直線BD的解析式；
（3）線段PQ與BD是否平行？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵點M是線段B、D的中點，B（3，1），D（1，3），

∴點M的橫坐標(biāo)為： =2，點M的縱坐標(biāo)為： =2，

∴點M的坐標(biāo)為（2，2），

∵四邊形ABCD是正方形，

∴點B與點C的橫坐標(biāo)相同，點C與點D的縱坐標(biāo)相同即可求出C點坐標(biāo)；

∴點C的坐標(biāo)為（3，3）

（2）

解：設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，

∵B（3，1），D（1，3）在直線BD上，

∴ ，解得 ．

∴直線BD的解析式為y=﹣x+4

（3）

解：PQ∥BD．理由如下：

∵反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過M（2，2），

∴ ，解得m=4．

∴反比例函數(shù)的解析式為 ．

∵反比例函數(shù) 的圖象與BC交于點P，

∴點P的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)x=3時， ．

∴點P的坐標(biāo)為（3， ）．

同理點Q的坐標(biāo)為（ ，3）．

∴CP=CQ= ．

∴∠CPQ=45°．

又∵∠CBD=45°，

∴∠CPQ=∠CBD．

∴PQ∥BD．

【解析】（1）直接根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可求出點M的坐標(biāo)；再根據(jù)點B與點C的橫坐標(biāo)相同，點C與點D的縱坐標(biāo)相同即可求出C點坐標(biāo)；（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，由已知B（3，1），D（1，3），再把B、D兩點的坐標(biāo)代入即可求出k、b的值，進而得出結(jié)論；（3）先根據(jù)反比例函數(shù)y= 過點M（2，2）可求出m的值，由此可求出點P、Q兩點的坐標(biāo)，故可得出CP=CQ= ，即∠CPQ=45°，再由直線BD是正方形ABCD的對角線可知∠CBD=45°，故∠CPQ=∠CBD，進而可得出結(jié)論．