Question

（本題12分）如圖甲，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+8分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，⊙O的半徑為2個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)P為直線y=x+8上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PC、PD，切點(diǎn)分別為C、D，且PC⊥PD．

（1）試說明四邊形OCPD的形狀（要有證明過程）；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖乙，若直線y=x+b將⊙O的圓周分成兩段弧長(zhǎng)之比為1：3，請(qǐng)直接寫出b的值

（4）向右移動(dòng)⊙O（圓心O始終保持在x軸上），試求出當(dāng)⊙O與直線y=x+8有交點(diǎn)時(shí)圓心O的橫坐標(biāo)m的取值范圍。

 

Answer 1

（1）四邊形OCPD是正方形

（2）P的坐標(biāo)為（2，6）或（6，2）

（3）2或-2

（4）8-2≤m≤8+2

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)切線長(zhǎng)的性質(zhì)定理可以得出PC=PD，PC⊥OC, PC⊥OD,再由PC⊥PD可以的證.

（2）設(shè)出直線y=x+8的點(diǎn)P（m，-m+8），根據(jù)切線長(zhǎng)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，有勾股定理的出m的值.

（3）分兩種情形，直線y=-x+b將圓周分成兩段弧長(zhǎng)之比為1：3，可知被割得的弦所對(duì)的圓心角為90°，又直線y=-x+b與坐標(biāo)軸的夾角為45°，如圖乙可知，分兩種情況，可求得結(jié)果.

（4）當(dāng)圓運(yùn)動(dòng)到PO等于半徑且在直線的左面時(shí)，則圓和直線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)圓運(yùn)動(dòng)到直線的右面時(shí)與直線相切的點(diǎn)也有一個(gè)，從而能知道他們之間的都可以.

試題解析：（1）四邊形OCPD是正方形．證明過程如下：

如圖甲，連接OC、OD．

∵PC、PD是⊙O的兩條切線，

∴∠PCO=∠PDO=90°．

又∵PC⊥PD，

∴四邊形OCPD是矩形．

又∵OC=OD，

∴四邊形OCPD是正方形；

（2）如圖甲，過P作x軸的垂線，垂足為F，連接OP．

∵PC、PD是⊙O的兩條切線，∠CPD=90°，

∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，

∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，

∴OD=PD=2，OP=2

∵P在直線y=-x+8上，設(shè)P（m，-m+8），則OF=m，PF=-m+8，

∵∠PFO=90°，OF2+PF2=PO2，

∴m2+（-m+8）2=（2）2，

解得m=2或6，

∴P的坐標(biāo)為（2，6）或（6，2）；

（3）分兩種情形，直線y=-x+b將圓周分成兩段弧長(zhǎng)之比為1：3，可知被割得的弦所對(duì)的圓心角為90°，又直線y=-x+b與坐標(biāo)軸的夾角為45°，如圖乙可知，分兩種情況，所以，b的值為2或-2．

故答案是：2或-2．

（4）8-2≤m≤8+2

考點(diǎn)：正方形，圓的切線的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，等腰直角三角形