Question

如圖，⊙O為四邊形ABCD的外接圓，圓心O在AD上，OC∥AB．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若AC=8，AC：CD=2：1，試求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）由OC∥AB，根據平行線的性質，即可得∠OCA=∠CAB，又由OA=OC，根據等邊對等角，即可得∠OAC=∠OCA，則可證得AC平分∠DAB；
（2）由圓心O在AD上，可知AD是直徑，根據圓周角定理，即可得∠ACD=90°，然后利用勾股定理即可求得答案．

解答：（1）證明：∵OC∥AB，
∴∠OCA=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAB，
即AC平分∠DAB；

（2）解∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∵AC=8，AC：CD=2：1，
∴CD=4，
在Rt△ACD中，AD=

AC2+CD2

=4

5

，
∴OA=

1

2

AD=2

5

，
∴⊙O的半徑為2

5

．

點評：此題考查了圓周角定理、平行線的性質、等腰三角形的性質以及勾股定理．此題比較簡單，解題的關鍵是數形結合思想的應用，注意掌握半圓（或直徑）所對的圓周角是直角定理的應用．