Question

12．如圖，在△ABC中，AC＞AB，以點A為圓心、AB長為半徑的弧恰交BC于點D，連接AD，過點B作BE⊥AD，垂足為E．
（1）若AB=10，DE=2，求△ABD的面積；
（2）求證：AC²-AD²=BC•CD．

Answer 1

分析 （1）由已知條件可得AB=10、AE=8，在RT△ABE中根據勾股定理可求得BE；
（2）過點A作AF⊥BD于點F，根據勾股定理知，在RT△ACF中AC²=AF²+CF²，在RT△ADF中AD²=AF²+DF²，兩式相減整理可得．

解答 解：（1）∵AB=AD，AB=10，DE=2，
∴AE=AD-DE=8，
∵BE⊥AD，
∴在RT△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
則△ABD的面積為$\frac{1}{2}$AD×BE=$\frac{1}{2}$×10×6=30；

（2）如圖，過點A作AF⊥BD于點F，

∵AB=AD，
∴BF=DF，
∵在RT△ACF中，AC²=AF²+CF²，
在RT△ADF中，AD²=AF²+DF²，
∴AC²-AD²=CF²-DF²
=（CF+DF）（CF-DF）
=（CF+BF）（CF-DF）
=BC•CD，
即AC²-AD²=BC•CD．

點評 本題主要考查勾股定理的運用和等腰三角形的性質，掌握勾股定理是根本，構建直角三角形將待求證的線段放到直角三角形中是解題的關鍵．