Question

13．我們規(guī)定兩數(shù)a、b之間的一種運(yùn)算，記作[a，b]：如果a^c=b，那么[a，b]=c
例如[2，8]=3，對(duì)于任意自然數(shù)n，可以證明[3ⁿ，4ⁿ]=[3，4]，理由如下：設(shè)[3ⁿ，4ⁿ]=x，則（3ⁿ）^x=4ⁿ，∴（3^x）ⁿ=4n，∴3^x=4，∴[3，4]=x，∴[3ⁿ，4ⁿ]=[3，4]．
（1）根據(jù)以上規(guī)定求出：[4，64]=3；[2014，1]=0；
（2）說明等式[3，3]+[3，5]=[3，15]成立的理由；并計(jì)算[5，2]+[5，7]=[5，14]；
（3）猜想：[4，12]-[4，2]=[4，6]，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意如果a^c=b，那么[a，b]=c，進(jìn)而將原式變形求出答案；
（2）根據(jù)[3，3]與[3，5]的意義，得出[3，3]+[3，5]，再表示出[3，15]的值進(jìn)而得出答案；表示出[5，2]與[5，7]的值進(jìn)而得出答案；
（3）利用同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則將原式變形求出答案．

解答 解：（1）設(shè)[4，64]=x，則4^x=64=4³，
故x=3，即[4，64]=3；
設(shè)[2014，1]=x，則2014^x=1=2014⁰，
故x=0，即[2014，1]=0；
故答案為：3，0；

（2）設(shè)[3，3]=m，[3，5]=n，則3^m=3，3ⁿ=5，
故3^m•3ⁿ=3^m+n=3×5=15，
則[3，15]=m+n，
即[3，3]+[3，5]=[3，15]，
設(shè)[5，2]=m，[5，7]=n，則5^m=2，5ⁿ=7，
故5^m×5ⁿ=5^m+n=2×7=14，
則[5，14]=m+n，
即[5，2]+[5，7]=[5，14]；
故答案為：14；

（3）設(shè)[4，12]=m，[4，2]=n，則4^m=12，4ⁿ=2，
故$\frac{{4}^{m}}{{4}^{n}}$=4^m-n=$\frac{12}{2}$=6，
則[4，6]=m-n，
即[4，12]-[4，2]=[4，6]．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則，正確將原式變形分析是解題關(guān)鍵．