Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿CD向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
（1）設(shè)BP=x，當(dāng)x為何值時(shí)三角形△APQ面積最小，求出最小值；
（2）探究：△APQ能否構(gòu)成直角三角形？若能，請(qǐng)確定點(diǎn)P所有可能的位置；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)表示出PC=4-x，DQ=4-x，再利用三角形面積公式和S_△APQ=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△PCQ-S_△ADQ進(jìn)行計(jì)算得到S_△APQ=

1

2

x²-2x+8，然后配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）根據(jù)勾股定理，在Rt△ABP中得到AP²=AB²+BP²=4²+x²，在Rt△PCQ中得到PQ²=CQ²+PC²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16，在Rt△ADQ中得到AQ²=AD²+DQ²=4²+（4-x）²=x²-8x+32，然后分類討論：當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理得4²+x²+2x²-8x+16=x²-8x+32；當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理得到4²+x²=2x²-8x+16+x²-8x+32；當(dāng)∠PAQ=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理得到即4²+x²+x²-8x+32=2x²-8x+16，然后分別解方程求出x的值，從而得到P點(diǎn)的位置．

解答：解：（1）∵BP=x（0≤x≤4），
∴CQ=x，PC=4-x，DQ=4-x，
∵S_△APQ=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△PCQ-S_△ADQ
=4•4-

1

2

•4•x-

1

2

•x•（4-x）-

1

2

•4•（4-x）
=

1

2

x²-2x+8
=

1

2

（x-2）²+6，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S_△APQ有最小值，最小值為6；
（2）能．
在Rt△ABP中，AP²=AB²+BP²=4²+x²，
在Rt△PCQ中，PQ²=CQ²+PC²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16，
在Rt△ADQ中，AQ²=AD²+DQ²=4²+（4-x）²=x²-8x+32，
當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，則AP²+PQ²=AQ²，即4²+x²+2x²-8x+16=x²-8x+32，
整理得x²=0，解得x=0，
∴此時(shí)P點(diǎn)在B點(diǎn)處，
當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，則AP²=PQ²+AQ²，即4²+x²=2x²-8x+16+x²-8x+32，
整理得x²-8x+16=0，解得x=4，
∴此時(shí)P點(diǎn)在C點(diǎn)處；
當(dāng)∠PAQ=90°時(shí)，則AP²+AQ²=PQ²，即4²+x²+x²-8x+32=2x²-8x+16，
此方程無解．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)或C點(diǎn)時(shí)，△APQ為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用勾股定理表示線段之間的關(guān)系；會(huì)運(yùn)用分類討論思想的解決數(shù)學(xué)問題．