Question

如圖，以BC為直徑的⊙O交△CFB的邊CF于點A，BM平分∠ABC交AC于點M，AD⊥BC于點D，AD交BM于點N，ME⊥BC于點E，AB²=AF•AC，cos∠ABD=

3

5

，AD=12．
（1）求證：△ANM≌△ENM；
（2）求證：FB是⊙O的切線；
（3）證明四邊形AMEN是菱形，并求該菱形的面積S．

Answer 1

分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)定理，可以得出AM=ME，∠AMN=∠EMN，再利用SAS可證出：△ANM≌△ENM
（2）利用相似三角形的判定可證出△ABF∽△ACB，從而得出∠ABF=∠C，那么可以得到∠CBF=90°
（3）利用（1）中的結(jié)論先證出∠AMN=∠ANM，可以得到AM=ME=EN=AN，從而得出四邊形AMEN是菱形，再求出△BND∽△BME，利用比例線段可求出ME的長，再利用菱形的面積公式可計算出菱形的面積．

解答：（1）證明：∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°．
又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，
∴AM=ME，∠AMN=∠EMN．
又∵MN=MN，
∴△ANM≌△ENM．

（2）證明：∵AB²=AF•AC，
∴

AB

AC

=

AF

AB

．
又∵∠BAC=∠FAB=90°，
∴△ABF∽△ACB．
∴∠ABF=∠C．
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°，
∴FB是⊙O的切線．

（3）解：由（1）得AN=EN，AM=EM，∠AMN=∠EMN，
又∵AN∥ME，
∴∠ANM=∠EMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AN=AM，
∴AM=ME=EN=AN．
∴四邊形AMEN是菱形．
∵cos∠ABD=

3

5

，∠ADB=90°，
∴

BD

AB

=

3

5

．
設(shè)BD=3x，則AB=5x，
由勾股定理AD=

(5x)2-(3x)2

=4x；
∵AD=12，
∴x=3，
∴BD=9，AB=15．
∵MB平分∠AME，
∴BE=AB=15，
∴DE=BE-BD=6．
∵ND∥ME，
∴∠BND=∠BME．
又∵∠NBD=∠MBE，
∴△BND∽△BME．
∴

ND

ME

=

BD

BE

．
設(shè)ME=x，則ND=12-x，

12-x

x

=

9

15

，解得x=

15

2

．
∴S=ME•DE=

15

2

×6=45．

點評：本題利用了角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定，還有勾股定理以及菱形面積公式等知識．