Question

拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．

（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)y的值大于0時(shí)，求x的取值范圍；

（3）分別求出△BCM與△ABC的面積．

Answer 1

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)．

【專題】計(jì)算題．

【分析】（1）由于已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x﹣3），然后把（0，﹣3）代入求出a即可得到拋物線解析式，再配成頂點(diǎn)式得到M點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）觀察函數(shù)圖象，寫出拋物線在x軸上方部分所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可；

（3）根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△ABC的面積，利用S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD﹣S_△BOC計(jì)算△BCM的面積．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

∵拋物線過點(diǎn)（0，﹣3），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣3），

∴a=1，

∴拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣3），即y=x²﹣2x﹣3，

∵y=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，

∴頂點(diǎn)M（1，﹣4）；

（2）x＜﹣1或x＞3；

（3）如圖，連接BC、BM、CM，作MD⊥x軸于D，

S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD﹣S_△BOC=×（3+4）×1+×2×4﹣×3×3=3

S_△ABC=×4×3=6．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：從二次函數(shù)的交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）．也考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式和三角形面積公式．